2011年3月12日

3.4-8 透視圖中的圓 Ellipses In Perspective Drawing

在平面圖中畫圓通常不會有什麼大問題,頂多把圓規或是圓形板搬出來就是了。

但是在透視圖中圓形卻是個大麻煩,因為「圓」本身就是一個奇妙的圖形。
















因為觀看的角度不同,圓形甚至會從一條線慢慢變化成一個正圓形,但是它的實體卻都是同一個「圓形」。

在透視圖中,為了確保畫出的圓的形體正確,通常會借助兩個軸線來畫出「圓」。














通常在透視圖中圓形在我們的視覺中會形成一個橢圓形,而其中比較長的直徑就是「主軸」(Major Axis),而短的直徑就是「副軸」(Minor Axis)。



我們可以想像圓的副軸就是垂直插在這個圓形平面的"吸管",而主軸就是從另一個垂直的方向旋轉副軸的另一個軸,如下圖所示~



















旋轉副軸時,這個圓型在我們眼裡並不會有任何改變(如果在圓上做一點記號,當然就看得出不一樣),而旋轉主軸時這個圓的"寬扁"就會改變。

換句話說,主軸就是用來旋轉副軸的,而副軸就是用來旋轉主軸的,這兩個軸永遠互相垂直。

在立體圖中畫圓時,我們至少要在心中先決定好這兩個軸的方向與角度,這圓才畫得成。


請看下圖,圖中的圓的副軸"看起來"方向相同,但是其實這些副軸的"真實方向"是不同的。

實際上圖中的圓即是旋轉主軸來達到副軸的方向變換,圖中所有的主軸與副軸的"真實方向"都是不同的,但是在許多時候這些方向在視覺上是相同的。(請以真實三度空間來思考)





這兩個軸線在圖面上永遠都是相互垂直的。(視覺上是垂直的)


























在透視圖中,這兩個軸線主要有兩個重要的作用。

其一是幫助我們檢查畫出的圓是否形狀完全對稱。

另一個是幫助我們確認圓的方向與角度是否正確。

簡單來說,副軸的方向等同於我們用電鑽鑽孔時,鑽頭的方向。

而主軸的方向等於把電鑽鑽頭左右搖擺的角度。

如果你在畫圓時,對於副軸的方向有疑問的話,請想像你所畫的圓就是以電鑽鑽出來的圓孔,而副軸方向就是鑽頭的方向。






















別忘了,鑽頭的方向(副軸)在透視的情況下,如果是相同的方向,也必須通往相同方向的消失點!


















































是請注意,在透視圖的情況下,因為透視縮短變形的作用,這兩個軸線相交處並不是圓心!
平面圖的情況下確實是!)

要找到圓心的唯一方法就是把圓包含在一個正方形平面或正方體中。

這時正方形的對角線相交處才是這個圓的真正圓心位置。




































而在透視圖中,當我們需要確認所畫的圓的方向角度是否正確時,也必須借助這個正方形。

如果我們所畫的圓的副軸方向與主軸長度是正確的話,這個圓應該會接觸到正方形四個邊的中點。


像下圖中Fig15紅色三角形處是圓與正方形相接觸的部份,並不在正方形邊上中點處。

正確的位置應該要接觸到綠色圓點(正方形邊上的中點)處。













這時表示圓的副軸方向正確,但是主軸的長度(圓的翻轉角度)不正確。


但是這裡有一個相當重要的觀念要提出來~

實際上如果主軸與副軸都正確的話,圓形確實不會接觸到正方形的邊上中點。

而當圓確實接觸到正方形邊上的中點時,主軸與副軸的方向與長度卻是錯誤的。

也就是說,「如果我們所畫的圓的副軸方向與主軸長度是正確的話,這個圓應該會接觸到正方形四個邊的中點。」這句話其實是錯誤的!

其中實際上存在著一些誤差。

所以當我們需要確認圓的方位是否正確時,最標準的作法是查看圓形是否接觸到正方形邊的中點,而不要管主軸與副軸。

從下圖中可以看出來,當圓的方向完全正確時,主軸與副軸實際上存在著一些誤差。














一般來說在設計繪圖中,通常並不會要求很高的精準度,所以這樣的誤差是可以接受的。




























在消費性產品中經常會出現,沿著圓的軸心方向同時有許多大大小小的圓環環相套在一起,像下面一樣~





















遇到這種情況時,我們可以將主軸與副軸相交處暫時當作是圓心來使用,因為這些圓的相對距離(d)還是會保持一樣的。
















假設我們現在來畫一個摩托車輪胎,先畫出三個圓。






















然後利用這些「假的圓心」來測量讓彼此距離對稱,再把最後的輪廓線連接起來就完成了。






















也就是說,在同一個副軸上移動這些「假的圓心」就可以得到我們需要的間距。


再來我們來說說圓的各種比例分割的問題。

如果是以二的倍數分割或是其他不相等比例的分割,請看下面~

沿著副軸方向畫出一個直徑相等的平面正圓形。

然後在這個平面的圓形上劃分好需要的比例。
















在把這些比例對應回到透視的圓形上。

也就是說,這兩個圓實際上是同一個,一個是透視下的圓,一個是平面的圓。













如果這些比例是放射性對稱的,其實只要畫出半個正圓形就夠了。
























請注意,如果我們將圓做「平均」的分割,實際上等同於畫出一個多邊形。

下面示範將圓做三等分的分割,也就是畫出一個正三角形~




首先利用主軸與副軸畫出一個圓。












然後把相交處暫時當作圓心,畫出一條通過圓心的直徑。








在圓周與直徑相交處,劃上一條與圓周「正切」的切線。











然後將切線那一側的半徑兩等分。













在兩等分處再畫一條切線,通過圓周得到兩個點,如果透視不強烈的話,這兩條切線會接近平行。









將這三個點連接起來就得到一個正三角形,同時也把圓周平均三等分了。






請注意,與圓周的切線本身的角度要正確,否則得到的三角形不會是「正三角形」。

















然後是正五角形的作法~



與前面一樣畫出圓,以及主軸與副軸。








然後在直徑與圓周相交處劃上兩條切線,這兩條切線的「實際方向」是相同的,所以要通往同一個消失點。

然後把一邊的半徑三等分,另一邊四等分。







在四等分的1/4處與三等分的1/3處再畫出兩條切線,這些切線都是相同方向,必須通往同一消失點。







然後總共會得到四個點,加上三等分那一側的頂點,就是一個正五邊形。









像這樣。











請注意,上述的作法實際上存在著微小的誤差,但是在設計繪圖中通常都是可以接受的。















至於其他例如~七邊形、九邊形等等的分割,我到目前為止還不曾看過這些作法。

所以我也不知道......也許需要一些目測的幫助。



最後來談一談完全徒手畫圓形時的問題。

一般來說,越接近正圓形的圓越難畫得準確。

越扁的橢圓形越容易畫的準確。

實際上能夠徒手畫出標準的正圓形的人幾乎不存在。

另外,越大的圓形也越難畫得準確。














在這裡提供一個只需要直尺或是任何直線的東西輔助畫出標準橢圓形的方法。



















1.先畫出主軸與副軸決定橢圓的大小。

2.將一長一短的半徑在尺上作記號。

3.保持長半徑的記號在圖上短直徑的軌道上,而短半徑的記號在圖上長直徑的軌道上。

然後慢慢移動直尺就可以得到許多參考點,最後再連接起來。


終於講完了....下課休息十分鐘!


12 則留言 :

  1. 谢谢老师,受益匪浅啊

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  2. 整套"教學概念"整理的的非常完整,已經成為我的教學網頁囉!

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  3. 「教學」確實就是這個blog的目的。
    感謝您的愛用!

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  4. 坦白说,那椭圆那里我看了很多遍没看懂


    博主回复:2011-04-29 10:57:07[删除]
    哪裡不懂,可以說來聽聽嗎?


    BY ~ 流浪人

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  5. 顶一下,表示感谢,话说参考图基本都是产品设计手绘技法,不过看这个更舒服一点,谢谢一点

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  6. 用直尺画椭圆那里看起来有点费解,就是保持W点在长轴上,L点在短轴上,移动直尺依次画出若干个E点,然后连接E点


    博主回复:2011-06-07 00:35:55

    簡單的說就是~「尺上的短半徑靠在圖上的長半徑,尺上的長半徑靠在圖上的短半徑」,把從圖上測量出來的長短半徑顛倒過來就是了!


    BY ~ 流浪人

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  7. 椭圆的主副轴理论与四点理论不是矛盾的吧

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  8. Re: 新浪网友 <2729255927190899813>

    是矛盾的!

    你所說的四點理論才是唯一正確的,但是其中的差距很微小,以主副軸來畫圓其實還是可以接受的!

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  9. 圆的透视,任何的角度,任何的透视,都是纯椭圆吗,还是不是呢

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  10. Re: 新浪网友 <8333202720936838784>
    撇開特定角度時呈「一直線」與「正圓形」以外,其他所有角度確實都是橢圓形的沒錯!

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  11. 恩,谢谢,我大概明白了,
    但是,我个人觉得流浪人其实说的有三根轴,
    在第六排文字当中,“而短的直徑就是「副軸」(Minor Axis)。”短的直径“就意味着这个副轴在这个圆形平面内,
    而后面提到的”吸管副轴“是[垂直插在这个圓形平面的]。
    所以,这两“副轴”是不同的,,个人觉得,博主直接说三根轴来分别命名说明的话,,能把问题表达得更清楚,,,(个人觉得)
    不知道我这样理解是否正确??

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  12. Re: 工业设计之梦 <7445559318486755151>

    你的說法是正確的,在三度空間中任何一個方向都可以拆解為三個向度來組成(X Y Z三個軸向)。


    但是你誤解了副軸的"真實"方向,副軸是垂直於圓形平面的軸(垂直立起的吸管),主軸才是平行位於圓形平面的軸(橫擺於碗上的筷子),但是在平面的紙上我們永遠只能畫出在視覺上看來像是"位於"圓形的表面上的副軸,而且永遠在視覺上就是一直線!


    請仔細看附加上去的那張圖,那三個圓的角度旋轉了,但是副軸的方向畫出來看起來卻像是同一直線、同一方向(淡藍色線條)。


    如果還是不明白的話,請你找一個平面圓形的物體,然後拿一個直線的....筷子、吸管、筆等等之類的東西垂直穿過圓心,現在這隻筆就是副軸,然後開始隨意旋轉、擺弄這個圓的各種角度方位,再仔細觀察.....。

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